運動学-1：1-1平均速度
1.1
ある車が、全走行時間の実質的な前半を時速 80 km で、残りの後半を時速 40 km で走行しました。この車の平均速度を求めなさい。
解く
平均速度は、「全移動距離 ÷ 全走行時間」で求めることができます。
走行時間の設定
全走行時間を T とすると、問題文より：
前半の時間：T/2
後半の時間：T/2
それぞれの移動距離を計算
前半の距離 = 速度 × 時間 = 80×T/2＝40T (km)
後半の距離 = 速度 × 時間 = 40×T/2＝20T (km)
全移動距離 = 40T+20T＝60T (km)
平均速度の計算
平均速度は 60 km/h です。
物理基礎13 1.運動と力 第 3 章スカラーとベクトル 速度ベクトル 3.1. スカラー量
第 3 章
スカラーとベクトル
速度ベクトル
3.1. スカラー量
1. スカラーとは、どの基準フレームでも、使用されている単位系に応じた特定の数値に対応する量です。スカラーを記述する場合は、その数値と測定単位をその横に記します。
例えば：
スカラーの数値、つまり大きさは測定単位に反比例します。これは記号的に次のように表すことができます。
ここで、[A]と[A']はスカラーの次元であり、aとa'はその数値です。
2. スカラー量の例としては、時間、長さ、面積、体積、温度、質量、仕事、エネルギーなどがあります。
スカラー量の合計または積もスカラーです。一般に、スカラーを含む代数演算はすべてスカラーになります。
スカラー量で構成された特定の式が非代数的 (超越的) 関数の符号に従う場合、それは抽象数であることに注意してください。このような関数には、指数関数、対数関数、三角関数が含まれます。たとえば、座標 x がメートル ([x] = m) で表されている場合、式 y =akx は [k] = m-1 の場合にのみ意味を持ちます。同様に、式 x = A cosωt は [ω] = s-1 の場合にのみ意味を持ちます。
物理基礎12 1.運動と力 第 2 章 慣性 2.5. 速度の加法則の古典的法則
パート 1 運動と力
第2章 慣性
2.5. 速度の加法則の古典的法則
1. 粒子が横軸に沿って速度 u = Δx×Δt で一様に移動すると仮定します。別の慣性座標系における同じ点の速度 u’ = Δx'/Δt を求めます。式 (2.3) を使用できます。式の両辺を Δt で割ると、次の式が得られます。
あるいは、それに応じて、
これは、検討されている特殊なケースにおける速度の加算に関する古典的な法則です。
2. 速度の加法則は、光の速度よりもはるかに遅い運動速度でも当てはまります。
したがって、鉄道車両が地球に対して時速 80 km の速度で移動しており、乗客が車両に沿って同じ方向に時速 6 km の速度で歩いている場合、乗客の地球に対する速度は時速 86 km です。川の流れが 2 m/s で、蒸気船の水に対する速度が 8 m/s である場合、蒸気船の地球に対する速度は、流れに逆らって移動しているときは 6 m/s、下流に向かって移動しているときは 10 m/s になります。
3. ガリレイ変換の基礎となる論理的考察は自明のようで、異なる基準系における距離の不変性や速度の加法則などの結果は、ガリレオとニュートンの後の約3世紀にわたって科学者が扱った速度での実験において見事に成立しました。これらの変換はあらゆる物理現象に有効であるという考えは徐々に発展しました。世紀の変わり目になって初めて、ニュートン力学の考えを光の伝播に関連する現象に適用すると多くの矛盾が生じることが発見されました。矛盾がどのように生じ、相対性理論によってどのように解消されたかについては、第12章で説明します。
物理基礎11 1.運動と力 第 2 章 慣性 2.4. ガリレオ変換
パート 1 運動と力
第2章 慣性
2.4. ガリレオ変換
1.ニュートン力学では、比較的低速の物体を扱います。
巨視的な物体が移動する最高速度は、惑星、流星、宇宙船の速度です。これらは数十キロメートル/秒を超えることはなく、光速 c=300000 km/s よりはるかに低速です。
ある粒子の座標が 1 つの慣性基準系で指定されている場合、最初の基準系に対して直線で等速で移動する他の慣性基準系での同じ粒子の座標を計算できます。座標変換の正確な形式は、セクション 12.7 で導き出されます。ここでは、いわゆるガリレイ変換について考えます。ガリレイ変換により、光速よりもはるかに遅い運動速度で、2つの異なる慣性基準系にある特定の粒子の座標間の関係を求めることができます。
2. 明確さのために、1 つの基準フレームを地球に、もう 1 つを地球に対して速度 v で直線的に等速運動している鉄道車両にリンクします。問題を単純化するために、座標軸の 1 つ (たとえば、横座標軸) を車両の移動方向に沿って配置します (図 2.1)。
図から、点 K の y 座標と z 座標が 2 つの座標系 (2 つの基準フレーム) で一致することは明らかです。したがって、z' = z および y' = y です。ただし、横座標は長さ 00' = vt だけ異なります。したがって、ガリレイ変換は次の形式になります。
3. ガリレイ変換が相対性原理を満たすかどうかを確認するには、鉄道車両が固定され、地球が反対方向に速度 V で移動していると仮定した場合の変換の形を調べます。速度 V と v の大きさは一致しますが、方向は反対です。したがって、V = -v です。上記と同じ推論により、次の式が導かれます。
したがって、ガリレイ変換は相互的であることがわかります。つまり、慣性基準系のいずれも条件付きで固定系として扱うことができ、他の慣性系への変換は、系の相対速度の符号を考慮した同じ方程式によって実行されます。これは、これらの変換が相対性原理と一致することを示しています。
4. 粒子の変位は、異なる基準系で異なります。t1の時点で粒子が座標x1を持ち、t2の時点で粒子が座標x2を持っていたと仮定します。すると、地球に固定された基準系での変位は、
鉄道車両にリンクされた基準系における粒子の変位は
それに応じて、
5. しかし、距離は2つの基準系で同じままです。明らかに、任意の距離または長さ（図2.2）は、同時に測定されたその終了点と開始点の座標の差に等しいです。したがって、t2 =t1、つまりΔt=0でl = x2 - x1です。次に、式（2.3）と（2.4）から、次の式が導かれます。
この結果は完全に明白であるように思われ、一見すると、なぜそれが導かれなければならなかったのかは明らかではありません。この導出の意味は後で明らかになります（セクション 12.8）。
物理基礎10 1.運動と力 第 2 章 慣性 2.3.相対性の原理
パート 1 運動と力
第2章 慣性
2.3. 相対性の原理
- 上で述べた近似度合いを持つ慣性基準系は無数に存在します。ある慣性基準系に対して直線的に等速で移動する基準系は、すべて慣性系です。
ある物体が慣性によってある基準系内で移動すると仮定します。その結果、その速度は大きさも方向も変化しません。別の基準系では、最初の系に対して直線的に等速で移動するため、物体の速度は異なりますが、その速度も大きさと方向は一定です。その結果、2 番目の基準系は最初の系と同じ程度慣性系です。
したがって、地球に対して直線的に等速で移動する鉄道車両や船舶に固定された基準フレームは、地球に対して固定された基準フレームと同じ慣性を持ちます。
- 経験から、地球に対して直線的に等速度で航行する船上では、地上と同様にどの方向にも容易に移動できることがわかっています。リボルバーを撃つと、弾丸が船首から船尾まで飛ぶのにかかる時間は、船尾から船首まで飛ぶのにかかる時間と同じです。手から放された物体は、垂直に下向きに落下します (もちろん船に対してですが、地球に対しては放物線状の軌道を描きます)。容器に注がれた水は、地上と同様に水平の自由表面を持ちます。
これらの現象や他の多くの現象から、いかなる機械的実験も、利用可能な多くの基準フレームの中からどれか 1 つを選び出すことはできないことがわかります。さらに、物体の絶対的な静止や絶対的な運動は問題ではなく、何らかの慣性基準フレームにおける物体の相対的な運動のみが問題となります。
この基本的な自然法則は、ガリレオの相対性原理と呼ばれています。
「力学法則は、すべての慣性基準フレームで等しく有効である」、またはもっと簡潔に言えば、すべての慣性基準フレームは等しく正当化されます。
アルバート アインシュタイン (1879-1955) が行った相対性原理の分析により、彼は 1905 年に、この原理は最も基本的な自然法則の 1 つであり、機械的現象だけでなく、熱、電磁気、光学など、他のあらゆる現象にも適用できるという結論に達しました。これにより、彼は相対性の一般原理を定式化することができ、これはしばしばアインシュタインの相対性原理と呼ばれます。
すべての自然法則は、すべての慣性基準系において同じです。
この原理は、現代物理学が示す世界観の基礎の 1 つです。
物理基礎9 1.運動と力 第 2 章 慣性 2.2.慣性基準系
パート 1 運動と力
第2章 慣性
2.2. 慣性基準系
- 前のセクションで述べた慣性の法則は、確かに不完全です。物体の運動については述べましたが、運動が起こる基準系については何も述べていません。ある基準系では直線である経路が、別の基準系では曲線になる可能性があるため、経路の形状や速度については、ある特定の基準系に関してのみ語ることができることはすでにわかっています。
したがって、慣性の法則の記述を変更し、与えられた運動が扱われる基準系を明示的に指定する必要があります。慣性の法則は、より正確には次のように述べられます。
他の物体と相互作用しないすべての物体が直線上で均一に移動する基準系があります。この条件を満たす基準系は、慣性基準系と呼ばれます。
- 慣性基準系の概念は抽象概念であり、自然界ではある程度の近似度合いでのみ見られます。すべての基準系参照は明らかに特定の物体と関連しており、自然界のすべての物体はある程度相互作用するため、厳密に慣性基準系を指すことは不可能です。したがって、与えられた範囲の問題を扱う際に慣性として見なすことができる基準系のみを示すことができます。もちろん、与えられた基準系が慣性であるかどうかに関する質問は、それを調べるための実験を行うことによってのみ答えることができます。
実験により、第一近似として、地球の表面に固定された基準フレームは慣性フレームとみなせることが示されています。これは本質的に、地球の自転とは無関係な一連の現象が存在することを意味します。このような基準フレームは、地球中心（地球を意味するギリシャ語の ge に由来）であると言われています。
地球の自転は、あらゆる種類の機構や機械の動作、およびさまざまな輸送施設の移動にほとんど影響を与えません。熱、化学、核反応の進行、および発電機、モーター、変圧器、無線送信機、受信機で発生する電磁プロセスには影響しません。また、電磁波の伝播や光や音の現象にも影響しません。したがって、これらの物理的プロセスを説明する際に、地心基準フレームは高い精度で慣性であると見なすことができます。
- しかし、地球の自転と太陽の周りの公転によって生じる現象は数多くあります。これらの動きは直線でも均一でもないため、慣性基準系ではあり得ない効果を示します。
したがって、夜に空を観察すると、星のシステム全体が北極星と地球の中心を通る軸を中心に回転しているように見えます。地心基準系を使用する場合、地球とすべての星の間の相互作用のメカニズムを探して、それらの軌道が曲線である理由を説明できるようにする必要があります。次に、惑星が空で非常に複雑な動きをしていることに気が付きます。ある方向に動いている惑星は突然停止し、逆方向に動き、ループを描いた後、再び最初の方向に動き始めます。
アリストテレス、プトレマイオス (西暦 2 世紀) やその他の研究者は、地心座標系で観測された天体の動きを説明しようと何度も試みましたが、いずれも失敗に終わりました。コペルニクス、ガリレオ、ヨハネス ケプラー (1571-1630) は、地球ではなく太陽を座標系に関連付けて、天体の動きの正しい理論を編み出しました。この座標系は、太陽を意味するギリシャ語の helios に由来する地心座標系と呼ばれています。この座標系は、地心座標系よりも慣性が非常に強いです。
物理基礎8 1.運動と力 第 2 章 慣性 2.1.慣性の原理
パート 1 運動と力
第2章 慣性
2.1. 慣性の原理
- 力学の基本的な目的は、ある基準フレームにおける物体の運動と、この運動の性質を決定する原因を研究することです。物体がどのような条件下で直線または曲線の経路に沿って、等速または不等速で、加速または減速して移動するかを調べる必要があります。
物体の相互作用によって、その運動の性質が変わることは、経験からわかっています。たとえば、落下する物体が地面に到達すると、その物体は停止する (運動が止まる) か、上向きに跳ね返るかのいずれかになります。後者の場合、その速度は方向が逆になります。地球に対して静止している物体を考えてみると、その物体が自力で動き出すことは決してないことがわかります。静止状態から抜け出して動き出すには、他の物体の作用が必要です。同様の例を数多く挙げることができます。
- 物体の相互作用によって速度が変化するというまったく正しい見解から、アリストテレス（紀元前384-322年）などの古代の哲学者は、物体の運動は他の物体との相互作用の結果であるという誤った結論に達しました。
この誤った信念の理由の 1 つは、地球を宇宙の絶対的に固定された中心とみなしていたことです。
その結果、彼らは、物体が地球に対して静止しているとき、その物体は自然な状態にあると考えました。彼らは、運動は外部の力の作用による物体の強制された一時的な状態であると信じていました。確かに、投げられた石や弓から飛び出す矢の運動を説明しようとする際に、彼らはいくつかの困難に直面しました。ここでは、石や矢が飛んでいるときにそれらを継続的に押している物体は存在しません。そこで、これらの現象を説明するために、古代の科学者は、運動の強制的な性質に関する基本的な仮定を守る目的で、さまざまな仮説を提案しました。
- 14 世紀末には、運動に関する 2 つの問題が再び浮上しました。まず、大砲の発達により、砲弾の運動法則を見つける必要が生じました。次に、ニコラウス コペルニクス (1473-1543) が提唱した太陽系の地動説に関連して、地球は宇宙の中心ではなく、他の惑星とともに太陽の周りを回る普通の惑星にすぎないことが明らかになりました。必然的に、惑星 (および他の天体) はそれ自体で運動しているという結論に至りました。なぜなら、地球や他の惑星が何十億年もの間、何かによって継続的に押されているというのはまったく信じ難いことだったからです。
さらに、なぜ私たちは地球の公転を感じないのか、またなぜ地球の表面から飛び上がって同じ場所に再び着地するのかを説明する必要がありました。運動の問題に対する最初の正しい（ただし不完全な）解決法は、17 世紀初頭にガリレオ・ガリレイ（1564-1642）によって提示されました。さらに 50 年が経過して、アイザック・ニュートン卿（1643-1727）が古典力学の基礎となった 3 つの基本運動法則を明確に定式化しました。
- 運動の問題を適切に解決するには、まず外部作用に関するすべての考えから離れて、問題を次のように設定する必要がありました。物体が他の物体との相互作用を停止した場合、物体に何が起こるでしょうか。ガリレオが提案した思考実験によって、さらに先に進むことができます。明らかに、地球上で行われる実際の実験では、物体を重力と摩擦力の影響から解放することはできません。しかし、少なくとも想像の中でこれらの力を減らし始めたら何が起こるか自問することはできます。
カートが砂の上を走っていると仮定します。カートはすぐに速度を落とし、停止します。水平なガラスの表面では、カートはかなりの距離を移動しますが、それでも徐々に速度を落とし、停止します。ガラスが完全に滑らかであればどうなるでしょうか。明らかに、カートは停止せず、無限に長い間動き続けます。
ガリレオが物体の慣性運動という概念を思いついたのは、外部の影響を一切受けない物体に関するこの思考実験のおかげでした。物体は慣性によって直線だけでなく円でも均一に動くことができる（後者は間違いです！）とガリレオが考えていたのは間違いでしたが、彼の考えによってニュートンは慣性の法則を正しく定式化できました。この法則は次のように述べられます。
ある物体が周囲の物体と相互作用しない場合、その物体の運動速度は大きさも方向も変化しません。つまり、物体は直線上を均一に移動し続けます。
これはニュートンの第一運動法則としても知られています。慣性運動は最短距離に沿った運動です。自由空間では 2 点間の最短距離は直線だからです。
物体が静止していると言う場合、絶対的な静止状態を意味するのではなく、他の物体に対して運動している特定の基準系内での静止のみを意味します。
- 走行中の電車でジャンプして同じ場所に着地するのは、まさに慣性によるものです。等速で移動する車両の床に立っているとき、私たちの速度は車両と同じになります。垂直にジャンプすると、水平方向の速度は変化しません。この方向には何も作用しないからです。したがって、車両とともに水平方向に移動した後、ジャンプした瞬間に離れた同じ場所に戻ります。地球に対する私たちの動きについてもまったく同じことが言えます。
投げられた物体は慣性で移動します。石を投げると、石に一定の速度を与えます。石が空気抵抗や地球の引力を受けなければ、この速度の大きさと方向を変えずに移動を続けます。石と空気および地球との相互作用により、石の動きが遅くなり、進路が曲がり、最終的に停止します。
